같은 양을 여러 묶음으로 세기
한 봉투에 구슬이 7개씩 있고 봉투가 3개라면 구슬은 21개다. 자연수의 곱셈은 이렇게 같은 개수의 묶음을 합치는 상황을 표현한다. 다만 정수가 아닌 횟수로 반복해 더한다는 설명은 곧바로 적용할 수 없으므로, 더 넓은 수 체계에서는 의미를 확장해야 한다.
크게 만들기만 하는 연산은 아니다
8에 0.5를 곱하면 4가 된다. 양수에 1보다 작은 양수를 곱하면 값이 줄어들 수 있다. 음수를 곱하면 부호도 달라진다. 따라서 곱셈을 언제나 수를 크게 만드는 연산으로 이해하면 분수와 음수 계산에서 오류가 생긴다.
단위도 함께 곱하기
가로 3m, 세로 5m인 직사각형의 넓이는 15m²다. 숫자 3과 5만 곱하는 것이 아니라 길이 단위도 곱해 면적 단위가 된다. 계산의 숫자가 맞더라도 단위를 잘못 붙이면 어떤 양을 구했는지 달라진다.
대상에 따라 달라지는 법칙
실수에서는 a×b와 b×a가 같지만 행렬의 곱에서는 일반적으로 순서를 바꾸면 결과가 달라진다. 곱셈이라는 이름이나 비슷한 표기를 쓴다고 해서 모든 대상이 실수와 같은 법칙을 만족하는 것은 아니다. 어떤 집합에서 어떤 연산을 정의했는지 확인해야 한다.