교환성을 검사하는 식
ab=ba라면 aba⁻¹b⁻¹=e다. 반대로 aba⁻¹b⁻¹=e에서 오른쪽에 ba를 곱하면 ab=ba를 얻는다. 교환자가 항등원인지 확인하는 것은 두 곱의 순서를 바꾸어도 같은지를 확인하는 방법이다.
순열로 계산하기
S₃에서 a=(1 2), b=(2 3)을 잡고 오른쪽 순열부터 적용하자. a와 b는 각각 자기 역원이므로 [a,b]=abab다. ab=(1 2 3)이어서 교환자는 (1 3 2)가 된다. 항등순열이 아니므로 a와 b는 교환하지 않는다.
정의의 약속
다른 문헌에서는 [a,b]=a⁻¹b⁻¹ab를 사용하기도 한다. 두 식은 교환할 때 모두 항등원이 되지만 일반적인 a,b에 대해 같은 원소를 주는 것은 아니다. 여러 식을 결합하거나 계산 결과를 비교하기 전에는 약속을 맞추어야 한다.
행렬의 교환자와 차이
행렬이나 선형 연산자에서는 [A,B]=AB−BA를 교환자라고도 부른다. 군론의 교환자는 역원과 곱을 이용하며, 행렬 교환자는 뺄셈을 이용하므로 서로 다른 식이다. 가역행렬로 이루어진 군을 다룰 때도 어느 의미인지 구분해야 한다.