반정수 차수와 연결한다
제1종 구면 함수의 n은 일반 베셀 함수 쪽의 n+1/2에 대응한다. 예를 들어 구면 0차 j_0은 원통형 베셀 0차 J_0이 아니라 J_(1/2)에 인자를 곱한 값이다. 관련 함수의 이름과 기호가 비슷하더라도 직접 같은 숫자로 치환할 수 없다. 입력이 0인 경우에는 정의식의 겉보기 분모만 보고 결정하지 말고 극한을 살펴야 한다.
낮은 차수의 식
0차는 j_0(x)=sin x/x이고 1차는 j_1(x)=sin x/x²−cos x/x다. 0차를 미분하면 cos x/x−sin x/x²여서 j_0′=−j_1이라는 관계를 직접 확인할 수 있다. x=π에서는 j_0=0이지만 j_1=1/π다. 한 차수의 영점이 다른 차수까지 동시에 0으로 만든다는 뜻은 아니다.
원점에서의 극한
삼각함수 급수로 j_0(x)=1−x²/6+⋯를 얻으므로 j_0(0)=1로 연속적으로 확장할 수 있다. j_1에서는 1/x 항들이 상쇄되고 x/3−x³/30+⋯가 남아 원점 값은 0이다. 매우 작은 x에서 서로 큰 항들을 직접 빼면 이 상쇄가 수치적 정밀도 손실을 만들 수 있어 급수나 전용 계산을 검토해야 한다.
도함수와 차수의 구분
n≥1,x≠0에서 j_n′=j_(n−1)−(n+1)j_n/x라는 관계를 사용할 수 있다. n=2이면 j_2′=j_1−3j_2/x다. 차수를 하나 낮춘 함수를 구하는 것과 x에 대한 도함수를 구하는 것은 다른 연산이다. 제2종이나 수정 구면 함수까지 포함하는 계열도 있으므로 필요한 종류와 반환값, 원점 근처 처리 조건을 함께 확인한다.