집합의 곱에 연산 더하기
바탕 집합은 G와 H의 데카르트 곱이다. 순서쌍을 곱할 때는 첫 좌표끼리 G에서 계산하고 둘째 좌표끼리 H에서 계산한다. 순서쌍의 좌표를 서로 곱하거나 두 군의 원소를 한 집합 안에서 임의로 섞는 연산이 아니다.
나머지 덧셈의 예
G를 2로 나눈 나머지의 덧셈군, H를 3으로 나눈 나머지의 덧셈군이라고 하자. 그러면 (1,2)+(1,2)=(0,1)이다. 첫 좌표는 2를 법으로 둘째 좌표는 3을 법으로 계산한다. 전체 원소 수는 2×3=6개다.
항등원과 역원
각 좌표의 항등원을 모은 (e_G,e_H)가 전체 항등원이고 (g,h)의 역원은 (g⁻¹,h⁻¹)이다. G의 원소들을 (g,e_H)로 보면 G와 동형인 부분군을 직접곱 안에서 얻는다. H도 같은 방식으로 표현할 수 있으며 두 부분군은 정규다.
크기와 순환성
두 군이 유한하면 직접곱의 위수는 |G||H|다. 그러나 두 군이 순환군이라는 이유만으로 직접곱이 항상 순환군인 것은 아니다. 2원소 순환군 두 개의 직접곱은 원소가 네 개지만 모든 비항등원의 위수가 2여서 생성원 하나로 전체를 얻을 수 없다.