겹치는 방향을 제거하기
첫 벡터를 길이 1로 만든 뒤, 다음 벡터에서 이미 구한 방향으로의 정사영을 뺀다. 남은 벡터는 앞의 방향과 직교한다. 그 길이로 나누어 정규화하면 다음 정규직교 벡터를 얻는다. 여러 벡터가 있을 때에도 앞서 구한 각 방향의 성분을 제거한다.
두 벡터의 계산 예
보통의 평면 내적에서 v₁ = (1, 0), v₂ = (1, 2)를 생각하자. 첫 정규직교 벡터 q₁은 (1, 0)이다. v₂의 q₁ 방향 성분인 (1, 0)을 빼면 (0, 2)가 남으며 정규화하면 q₂ = (0, 1)이 된다. 처음 두 벡터와 결과 두 벡터는 모두 평면 전체를 생성한다.
계산식
실수 내적 공간에서 앞서 구한 벡터들을 qⱼ라 하면 rᵢ = vᵢ − Σ⟨vᵢ, qⱼ⟩qⱼ로 잔여 벡터를 구한다. 합은 j가 i보다 작은 범위에서 계산한다. 이어 qᵢ = rᵢ/‖rᵢ‖로 정규화한다. 정규화 단계를 생략하면 길이가 반드시 1은 아닌 직교 벡터들을 얻는다.
선형 독립 조건
입력이 선형 독립이면 각 단계의 잔여 벡터는 0이 아니므로 길이로 나눌 수 있다. 선형 종속인 입력에서는 잔여 벡터가 0이 되어 같은 계산을 그대로 수행할 수 없는 단계가 생긴다. 원래 벡터의 순서를 바꾸면 결과 기저도 달라질 수 있지만 생성하는 공간은 유지된다.