직교와 정규화
서로 직교한다는 조건만으로 벡터의 길이가 1이 되는 것은 아니다. 예를 들어 보통의 평면 내적에서 (2, 0)과 (0, 3)은 서로 직교하지만 정규직교 기저는 아니다. 두 벡터를 각각 자신의 길이로 나누면 (1, 0)과 (0, 1)이 되어 정규직교 조건을 만족한다.
평면에서의 예
보통의 내적을 쓰는 실수 평면에서 (1/√2, 1/√2)와 (−1/√2, 1/√2)는 서로 내적이 0이고 노름이 1이다. 두 벡터는 평면 전체의 기저를 이룬다. 좌표축 방향과 나란하지 않아도 정규직교 기저가 될 수 있다.
성분을 구하는 방법
유한 차원 실수 내적 공간의 정규직교 기저를 e₁부터 eₙ까지라고 하면 벡터 v의 각 계수는 v와 eᵢ의 내적이다. 따라서 v = Σ⟨v, eᵢ⟩eᵢ로 나타낼 수 있다. 일반적인 기저에서는 같은 방식으로 내적만 계산해 계수를 읽을 수 있는 것은 아니다.
어느 공간의 기저인가
정규직교 벡터들의 집합은 선형 독립이지만 더 큰 공간 전체를 생성하지 않을 수도 있다. 실수 3차원 공간에서 (1, 0, 0)과 (0, 1, 0)은 정규직교 집합이며 xy평면의 기저지만 3차원 공간의 기저는 아니다. 직교성뿐 아니라 생성하는 공간을 함께 확인해야 한다.