방멱을 같게 놓기
중심 O₁과 O₂, 반지름 r₁과 r₂를 가진 두 원의 근축에서는 PO₁² − r₁² = PO₂² − r₂²가 성립한다. 점 P에서 두 원까지의 가장 짧은 거리가 같다는 조건과는 다르다. 방멱의 정의를 사용해 두 식을 비교해야 한다.
좌표로 구하는 예
중심이 (0, 0)과 (4, 0)이고 반지름이 모두 1인 두 원을 생각하자. 두 방멱을 같게 놓으면 x² + y² − 1 = (x − 4)² + y² − 1이다. 정리하면 x = 2를 얻는다. 두 원은 만나지 않지만 근축은 존재한다.
만나는 원의 공통현
두 원의 교점에서는 각각의 방멱이 모두 0이다. 따라서 교점 두 개는 근축 위에 놓이고 그 두 점을 잇는 공통현을 포함하는 직선이 근축이다. 공통현은 선분이고 근축은 그 선분을 양쪽으로 연장한 직선이라는 차이가 있다.
중심이 같다면
동심인 서로 다른 두 원에서는 두 방멱의 차이가 반지름 제곱의 차이로 일정하고 0이 아니므로 방멱이 같은 점이 없다. 두 원이 완전히 같으면 평면의 모든 점에서 방멱이 같다. 하나의 직선인 근축을 말할 때 중심이 다르다는 조건이 필요한 이유다.