평면의 표준기저
실수 평면에서 (1,0),(0,1)은 기저다. 모든 (a,b)를 a(1,0)+b(0,1)로 나타낼 수 있고 두 벡터는 선형독립이다. 생성과 독립이라는 두 조건을 모두 만족한다.
다른 기저도 있다
(1,1),(1,−1)도 실수 평면의 기저다. (a,b)는 ((a+b)/2)(1,1)+((a−b)/2)(1,−1)로 표현된다. 기저가 바뀌면 같은 벡터를 나타내는 좌표 계수도 달라질 수 있다.
두 조건이 모두 필요한 이유
(1,0)만으로는 평면 전체를 만들 수 없다. (1,0),(0,1),(1,1)은 평면을 생성하지만 중복되는 관계가 있어 독립이 아니다. 어느 경우도 평면의 기저가 되지 못한다.
차원과 길이
같은 유한 차원 공간의 기저들은 벡터 개수가 같다. 그 수가 차원이다. 기저 벡터가 반드시 단위벡터이거나 서로 수직이어야 하는 것은 아니다. 직교정규기저는 추가 조건을 갖는 특별한 기저다.