좌표 개수와 구조의 차원
평면에 놓인 원 위의 점은 두 좌표로 기록되지만 원을 따라 움직이는 국소 자유도는 하나다. 이처럼 주변 공간의 차원과 내재 차원이 다를 수 있다. 가까운 점이 반경 증가에 따라 얼마나 빠르게 늘어나는지에는 국소 차원에 관한 정보가 담긴다.
거리 비율의 추정식
한 점에서 j번째 이웃까지의 거리를 Tⱼ라고 하자. 대표 국소 추정은 [(1/(k−1))Σⱼ₌₁ᵏ⁻¹ln(Tₖ/Tⱼ)]의 역수다. 자기 자신을 제외한 양의 거리를 사용한다. 0 거리의 중복점이나 분모가 0이 되는 동률 상황은 이 식을 그대로 적용할 수 없다.
작은 숫자로 확인하기
k=3이고 이웃 거리가 1,2,4라면 로그 비율의 평균은 (ln4+ln2)/2=(3/2)ln2다. 역수는 약 0.962다. 이는 주어진 거리에서 식을 계산한 예제이며 세 이웃만으로 차원을 신뢰성 있게 결정한 결과는 아니다. 추정값은 정수가 아닐 수 있고 여러 점과 이웃 범위에서 집계한다.
척도와 잡음의 영향
좁은 범위에서는 측정 잡음이 차원을 높게 보이게 하고 넓은 범위에서는 곡률이나 밀도 변화가 국소 가정을 깨뜨릴 수 있다. k를 바꾸어 추정의 안정적인 범위를 살펴본다. 내재 차원 추정치와 시각화에 사용할 좌표 개수는 같은 선택이 아니며 후속 과제의 검증도 함께 필요하다.