다항식 시간 매개화

경계 조건으로 계수 정하기

동작 시간 T 동안 s(0)=0, s(T)=1로 놓고 두 끝점의 진행 속도를 0으로 정하면 네 조건이 생긴다. 이들을 만족하는 3차식이 s=3u²−2u³다. 여기에 시작과 끝의 가속도도 0이라는 두 조건을 더하면 5차식 s=10u³−15u⁴+6u⁵를 얻는다. 다항식의 차수만 정한다고 조건이 자동으로 맞는 것은 아니다.

3차식의 속도와 가속도

3차식의 시간 미분은 ṡ=6u(1−u)/T이고, s̈=(6−12u)/T²다. 최대 진행 속도는 중간 시각의 3/(2T)다. T=2초이면 최대값은 초당 0.75이고 시작 가속도는 초당제곱 1.5다. 운동 전후를 정지 상태로 연결하면 속도는 이어지지만 가속도는 끝점에서 불연속적으로 바뀐다.

5차식에서 바뀌는 것

5차식에서는 ṡ=30u²(1−u)²/T이며 두 끝점의 속도와 가속도가 모두 0이다. 최대 진행 속도는 15/(8T)로, 같은 T의 3차식보다 크다. T=2초에서는 초당 0.9375다. 따라서 더 매끄러운 시작과 정지가 언제나 더 작은 최고 속도를 뜻하지는 않는다. 운동 전후를 정지 구간과 연결했을 때 5차식도 저크까지 연속인 것은 아니다.

관절의 실제 속도 확인

진행률의 속도와 실제 관절 속도는 구별한다. 직선 경로 q(s)=q₀+Δq·s에서는 q̇=Δq·ṡ다. 3차식으로 관절을 2라디안 이동시키면 최고 속도는 3/T 라디안 매초다. 속도 한계가 초당 1라디안이면 이 조건만으로도 T≥3초가 필요하다. 가속도·토크 한계와 경로의 가능성은 추가로 확인해야 한다.