고유벡터를 열로 놓기
서로 선형독립인 고유벡터들을 P의 열에 넣고 대응 고유값을 같은 순서로 D의 대각선에 놓으면 AP=PD다. P가 가역이므로 A=PDP⁻¹을 얻는다. 고유값과 열벡터의 순서를 맞추어야 한다.
중근만으로 판단하지 않기
단위행렬은 고유값 1이 반복되어도 이미 대각행렬이다. 반면 두 행 (2,1),(0,2)인 행렬은 고유값이 2뿐이고 고유공간이 (a,0)으로 제한되어 독립인 고유벡터 두 개를 얻지 못한다. 이 행렬은 대각화할 수 없다.
계산의 활용
A=PDP⁻¹이면 양의 정수 k에 대해 Aᵏ=PDᵏP⁻¹이다. 가운데의 P⁻¹P가 단위행렬로 소거되어 대각 성분의 거듭제곱으로 계산을 줄일 수 있다.
수의 범위와 직교대각화
실수에서 가능한지 복소수에서 가능한지 구별해야 한다. 일반적인 P는 직교행렬일 필요가 없다. 실수 대칭행렬에서 직교행렬을 이용하는 직교대각화는 추가 성질을 갖는 경우다.
관련 문서
대각행렬 / 고유값 / 고유벡터 / 고유공간 / 역행렬 / 선형독립 / 기저 (선형대수학) / 대칭행렬 / 직교행렬