합이 1인 공간
K개 성분의 비율 x_i가 양수이고 합이 1인 영역을 생각하자. 디리클레 밀도는 정규화 상수에 각 x_i^(α_i−1)을 곱한 형태다. 한 성분이 커지면 나머지 성분들의 합은 작아져야 하므로 성분들은 서로 독립이 아니다. 성분이 K개여도 합 제약 때문에 자유롭게 정할 수 있는 좌표는 K−1개다.
모수의 비율과 평균
α_0를 모든 집중도의 합이라고 하면 각 성분의 평균은 α_i/α_0다. α=(2,3,5)이면 평균 비율은 (0.2,0.3,0.5)다. α=(20,30,50)도 평균은 같지만 전체 집중도는 다르다. 두 모수가 같은 평균을 준다고 해서 같은 분포가 되는 것은 아니다. 큰 전체 집중도는 이 평균 주변으로 더 모이는 형태와 연결된다.
분산 차이를 계산한다
성분 i의 분산은 α_i(α_0−α_i)/(α_0²(α_0+1))다. 평균 비율 p_i를 사용하면 p_i(1−p_i)/(α_0+1)로도 쓸 수 있다. 첫 성분 평균이 0.2인 앞의 예에서 전체 집중도 10이면 분산은 0.16/11이고, 100이면 0.16/101이다. 동일한 평균에서도 비율의 불확실성이 달라진다는 점을 보여 준다.
모수와 관측 비율
집중도 벡터 자체는 합이 1일 필요가 없지만 생성된 비율 벡터는 합이 1이어야 한다. K=2에서는 첫 성분이 베타 분포를 따르고 둘째는 1에서 첫 성분을 뺀 값이다. 모든 집중도가 1이면 단체 내부에서 균등한 밀도를 갖지만 각 성분이 서로 독립인 균등분포라는 뜻은 아니다. 자료가 비율이라는 사실 외에 분포가 가정하는 의존성과 집중 형태가 적절한지 확인해야 한다.