라플라스 분포

절대 거리에 따른 밀도

밀도는 f(x)=exp(−|x−μ|/b)/(2b)다. 중심 μ의 양쪽을 합친 전체 면적이 1이고, μ에서 같은 거리만큼 떨어진 두 위치의 밀도는 같다. 중심에서 밀도가 높다는 사실은 정확히 μ일 확률이 양수라는 의미가 아니다. 연속확률변수의 한 점 확률과 밀도 높이는 구분해야 한다.

중심 주위의 구간 확률

t≥0일 때 P(|X−μ|>t)=exp(−t/b)다. μ=3,b=2이면 중심에서 2보다 멀리 떨어질 확률은 exp(−1), 약 0.368이다. 따라서 1부터 5 사이의 확률은 약 0.632다. 중심에서 4보다 멀 확률은 exp(−2), 약 0.135로 줄어든다. 같은 척도에서 거리 기준을 바꾸는 일과 척도 자체를 바꾸는 일을 구분해야 한다.

척도와 표준편차

평균과 중앙값은 모두 μ지만 분산은 2b²여서 표준편차는 √2b다. b=2라면 분산은 8, 표준편차는 약 2.828이다. 척도 b를 표준편차라고 그대로 보고 다른 분포와 맞추면 비교 조건이 달라진다. 정규분포와 같은 평균, 같은 분산으로 맞추더라도 중심과 꼬리의 밀도 모양까지 같아지는 것은 아니다.

절대 오차와의 연결

독립 관측들이 같은 척도 b의 라플라스 모형을 따른다고 두면 위치 μ에 대한 음의 로그우도는 상수를 제외하고 Σ|x_i−μ|/b다. 따라서 b를 고정한 위치 추정은 절대 편차 합을 최소화하는 문제와 연결된다. 자료 1,2,20에서는 μ=2의 절대 편차 합이 19로, 평균 23/3을 넣었을 때보다 작다. 이 연결이 실제 자료의 분포를 자동으로 증명하는 것은 아니다.