출력과 0으로 가는 입력
열공간의 차원은 가능한 출력이 형성하는 공간의 차원이다. 영공간의 차원은 0으로 보내지는 입력들의 공간 차원이다. 두 수를 더하면 입력 벡터의 성분 수 n이 된다.
2×3 행렬의 예
두 행이 (1,0,1),(0,1,1)인 A의 랭크는 2다. Ax=0의 해는 (−t,−t,t)로 영공간의 차원은 1이다. 따라서 2+1=3이며 행 개수 2가 아니라 열 개수 3과 일치한다.
해의 자유도
Ax=b에 해가 있을 때 영공간의 차원은 해에 남는 자유로운 방향의 수와 연결된다. 다만 이 정리만으로 특정 b에 대해 해가 있는지까지 결정되지는 않는다. b가 열공간에 속하는지도 확인해야 한다.
공간을 바로 더하는 말은 아니다
열공간과 영공간은 각각 출력과 입력 쪽에 놓이므로 같은 공간의 부분집합이라고 가정할 수 없다. 정리는 두 차원의 수에 관한 등식이다. 두 공간의 원소를 그대로 더해 전체 입력 공간을 만든다는 뜻으로 읽지 않는다.