비율로 계산하는 다항식
절점이 아닌 x에서 p(x)=[Σw_i y_i/(x−x_i)]/[Σw_i/(x−x_i)]로 계산한다. 이 표현은 분수처럼 보이지만 다항 보간에 맞는 가중치를 사용하면 같은 라그랑주 다항식을 나타낸다. 임의의 가중치를 넣은 유리함수 보간과 구분한다. 무게중심이라는 이름이 붙어도 w_i가 모두 양수이거나 합이 1인 확률 가중치라는 뜻은 아니다.
세 점으로 계산하는 예
절점 x_i가 0,1,2이면 가중치는 1/2,−1,1/2다. y_i가 1,2,5라고 하자. x=1/2에서 분모의 세 항은 1,2,−1/3이므로 합은 8/3이다. 분자는 1+4−5/3=10/3이므로 결과는 5/4다. 이 점들을 지나는 다항식 1+x²에 1/2를 넣어도 같은 값 5/4를 얻는다.
절점에서의 값과 가중치 재사용
x=x_i이면 식에 0으로 나누는 항이 생기므로 비율을 그대로 계산하지 않고 보간 조건 p(x_i)=y_i를 사용한다. 모든 가중치에 같은 0이 아닌 상수를 곱해도 분자와 분모에서 약분되어 값은 변하지 않는다. 가중치는 x_i에만 의존하므로 절점이 같은 여러 y 자료에 재사용할 수 있다. 반대로 절점을 바꾸면 가중치도 다시 맞춰야 한다.
안정적인 표현과 보간의 한계
무게중심 표현은 계수를 직접 전개하는 과정의 수치적 문제를 줄이는 데 유용하다. 하지만 고차 다항 보간 자체의 진동이나 부적절한 절점 배치를 자동으로 없애지는 않는다. 등간격 점을 계속 늘리는 것과 적절한 절점을 선택하는 것은 다른 문제다. 한 다항식으로 전체 구간을 표현하는 이 방식과 구간마다 낮은 차수 다항식을 잇는 스플라인도 구분한다.