표준 해를 선택한다
양의 실수 x에서 차수가 주어지면 베셀 방정식의 해를 두 독립적인 표준 해의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 제1종 J와 제2종 Y는 같은 이름의 다른 표기가 아니라 서로 구분되는 함수다. 원점 주변의 조건이나 다른 경계조건에 따라 필요한 조합을 정한다. 미분방정식만 적는 것으로 모든 해의 계수가 정해지는 것은 아니다.
0차 제1종의 급수
0차 제1종은 J_0(x)=Σ_{k≥0}(−1)^k(x²/4)^k/(k!)²다. 처음에는 1−x²/4+x⁴/64−⋯로 전개된다. x=0.2에서 이 세 항은 1−0.01+0.000025=0.990025다. 유한 항 근사값이며 정확한 함수값의 모든 자리를 나타내는 것은 아니다. J_0(0)=1이라는 값도 급수에서 바로 확인된다.
차수와 입력의 구분
J_0(2)는 차수 0인 함수의 입력 2에서의 값이고 J_2(0)는 차수 2인 함수의 입력 0에서의 값이다. 두 숫자를 바꾸어도 같은 함수값이라는 대칭 관계는 없다. 정수 차수 n에서는 J_(−n)(x)=(−1)^nJ_n(x)이므로 예를 들어 J_(−2)=J_2지만 J_(−1)=−J_1이다. 이 정수 관계를 아무 실수 차수에 그대로 확장하면 안 된다.
관련 함수와 계산
구면 베셀 함수는 반정수 차수의 J에 별도 인자를 곱해 정의되므로 일반 J와 직접 혼동하지 않는다. 복소 입력이나 비정수 차수에서는 가지와 경계값의 선택이 필요할 수 있다. 큰 입력과 원점 부근에 같은 근사를 무조건 적용하지 말고, 원하는 종류와 차수, 입력 영역을 확인한 뒤 점화식이나 방정식 잔차 같은 성질로 계산을 점검한다.