최대공약수의 표현
14와 9의 최대공약수는 1이고 14×2+9×(−3)=1이다. 음의 계수를 허용하므로 두 수보다 작은 최대공약수도 이런 합으로 나타낼 수 있다. 자연수 계수만을 요구하는 정리와는 다르다.
계수는 하나로 정해지지 않음
14×11+9×(−17)=1도 성립한다. 한 쌍의 계수를 찾았다고 그것이 유일한 것은 아니다. 최대공약수의 값은 정해져 있지만 이를 표현하는 정수 계수의 쌍은 여러 개일 수 있다.
정수 해의 존재
d=gcd(a,b)일 때 ax+by=c가 정수 해를 갖는 필요충분조건은 d가 c를 나누는 것이다. 공약수 d는 모든 ax+by를 나누며 베주 표현에 c/d를 곱하면 조건을 만족하는 해를 만들 수 있다.
역원과의 관계
ax+my=1이라는 정수 표현을 얻으면 ax≡1 (mod m)이므로 x는 법 m에서 a의 역원이다. 앞의 예에서는 14×2−9×3=1이므로 법 9에서 2는 14의 역원이다. 계수는 확장된 유클리드 알고리즘으로 구할 수 있다.
관련 문서
최대공약수 / 공약수 / 정수 / 서로소 / 합동식 / 모듈러 역원 / 유클리드 호제법 / 필요충분조건 / 선형결합