비율을 오즈로 바꾸기
U가 형상 a,b의 베타 분포를 따를 때 X=U/(1−U)는 같은 두 형상의 베타 프라임 분포를 따른다. 역변환은 U=X/(1+X)다. 예를 들어 U가 1/4이면 X는 1/3이고, U가 3/4이면 X는 3이다. U가 1에 가까워질수록 X는 큰 양수가 되므로 변환 후 범위가 1에 제한되지 않는다.
밀도와 변수 변환
이동과 척도를 제외한 기본 밀도는 x^(a−1)(1+x)^(−a−b)/B(a,b)다. B는 베타 함수다. U의 밀도에 역변환을 대입하는 것만으로는 부족하고 du/dx=1/(1+x)²도 곱해야 한다. 확률은 대응 구간에서 보존되지만 두 축에서 구간의 길이가 다르기 때문에 밀도 높이는 같은 방식으로 옮겨지지 않는다.
균등분포에서 얻는 예
a=b=1이면 U는 0부터 1의 균등분포이고 X의 밀도는 1/(1+x)²다. 누적분포는 x/(1+x)이므로 P(X≤1)=1/2, P(X≤3)=3/4다. 이 경우 중앙값은 1이지만 평균은 유한하지 않다. 실제 유한 표본에서 평균 숫자를 계산할 수 있다는 사실과 모집단 평균의 유한성은 다른 문제다.
다른 분포와 비교하기
베타 프라임 분포는 자유도와 척도를 조정한 F 분포와 연결된다. 따라서 같은 형상 숫자를 그대로 F 분포의 자유도라고 넣어서는 안 된다. 척도나 이동이 추가된 표현은 원래 오즈 변환의 단위와 범위를 바꿀 수 있다. 자료가 양수라는 조건만으로 이 모형을 고르지 말고 작은 값 부근과 큰 값의 꼬리를 함께 확인해야 한다.