근 하나와 모든 근
다항식의 근 하나를 첨가했다고 항상 분해체가 되는 것은 아니다. 예를 들어 x³−2의 실근 ∛2를 유리수체에 첨가하면 실수로만 이루어진 체를 얻지만 나머지 두 비실근은 포함하지 않는다. 분해체에는 이 근들도 모두 들어가야 한다.
이차식의 예
x²−5의 ℚ 위 분해체는 ℚ(√5)다. √5를 넣으면 −√5도 얻고 두 일차 인자 (x−√5)(x+√5)로 분해된다. 반면 ℝ에는 두 근이 모두 있지만 ℚ(√5)라는 더 작은 중간체가 있으므로 이 다항식의 ℚ 위 분해체를 ℝ라고 하지는 않는다.
기준 체의 역할
같은 x²−5를 ℝ 위에서 보면 이미 두 근이 모두 들어 있어 분해체는 ℝ 자체다. 따라서 분해체는 다항식의 식만 보고 정하는 것이 아니라 기준 체를 함께 주어야 한다. 이미 완전히 분해되어 있다면 새로운 원소를 첨가할 필요가 없다.
여러 다항식의 관계
서로 다른 다항식이 같은 분해체를 가질 수 있다. ℚ 위에서 x²−5와 x²−20은 모두 ℚ(√5)를 분해체로 갖는다. 2√5와 √5는 유리수 배수로 서로 얻을 수 있기 때문이다. 분해체를 안다고 다항식 자체가 유일하게 정해지는 것은 아니다.