연산을 유지한 채 범위 확장
복소수체는 실수체의 확대이고 실수체는 유리수체의 확대다. 원래 체의 덧셈과 곱셈은 큰 체에서도 같은 방식으로 적용되며 곱셈 항등원 1도 같다. 단지 두 집합 사이에 포함 관계가 있다는 것만으로 임의의 연산을 바꾼 구조가 체의 확대가 되는 것은 아니다.
원소를 첨가하기
K(α)는 K와 α를 포함하는 가장 작은 부분체다. 예를 들어 ℚ(√3)의 원소는 a+b√3 꼴이며 a,b는 유리수다. 이런 원소끼리 곱한 결과는 (a+b√3)(c+d√3)=(ac+3bd)+(ad+bc)√3로 다시 같은 형태가 된다.
벡터공간의 차원
ℚ(√3)은 ℚ 위에서 {1,√3}을 기저로 가지므로 차수가 2다. 마찬가지로 ℂ는 ℝ 위에서 {1,i}를 기저로 가져 차수가 2다. 차수는 원소의 개수가 아니라 계수를 작은 체에서 골라 선형결합할 때 필요한 기저의 크기다.
유한 확대의 의미
확대 차수가 유한하면 유한 확대라고 한다. ℚ(√3)/ℚ는 차수가 2인 유한 확대지만 두 체 모두 원소가 무한히 많다. 따라서 유한 확대와 유한체를 혼동하면 안 된다. 또한 원소 하나를 첨가한 단순 확대라고 해서 차수가 항상 유한한 것도 아니다.
관련 문서
체 (수학) / 벡터공간 / 기저 (선형대수학) / 차원 / 유리수 / 복소수 / 유한체 / 대수적 원소 / 최소다항식 (체론)