계수체에 따라 달라짐
x²−2는 유리수계수 다항식으로는 기약이지만 실수계수에서는 (x−√2)(x+√2)로 분해된다. x²+1도 실수체에서는 기약이고 복소수체에서는 (x−i)(x+i)로 분해된다. 같은 다항식의 기약성을 계수체와 분리할 수 없다.
근이 있는지 확인하기
체 위의 2차 또는 3차 다항식은 그 체 안에 근이 없으면 기약이다. 양의 차수 두 인자로 분해되면 적어도 한 인자가 1차여야 하기 때문이다. 그러나 4차부터는 2차 인자 두 개로 분해될 수 있어 근이 없다는 사실만으로 충분하지 않다.
표수 2의 예
𝔽₂에서 x²+x+1에 0과 1을 넣으면 둘 다 1이므로 근이 없고 기약이다. 반면 x²+1=(x+1)²다. 중간항 2x가 표수 2에서 0이 되기 때문이다. 실수계수에서 쓰던 인수분해 판단을 그대로 옮기면 안 된다.
몫환과의 연결
체 위의 기약다항식 f로 생성한 아이디얼 (f)는 극대 아이디얼이어서 K[x]/(f)는 체다. 그 안에서는 x의 잉여류가 f의 근 역할을 한다. 유한체를 다항식으로 구성할 때도 이런 방식으로 새 원소와 연산을 정의한다.