완전 분해에서 줄이는 것
희소행렬을 완전히 분해하면 원래 0이던 위치에도 인자의 원소가 생길 수 있다. 불완전 분해는 이런 채움을 제한하거나 작은 원소를 생략한다. 인자의 저장량과 적용 비용을 줄이는 대신 원래 행렬을 얼마나 잘 대신하는지 함께 고려한다.
채움을 막은 작은 예제
실수 행렬 A의 세 행을 (4,1,1), (1,4,0), (1,0,4)로 두자. 채움 없는 하삼각 인자 L의 세 행을 (2,0,0), (1/2,√15/2,0), (1/2,0,√15/2)로 잡을 수 있다. 원래 0이던 셋째 행 둘째 열은 L에서도 0으로 남겼다.
곱은 원래 패턴 밖에 값을 만들 수 있다
예제의 LLᵀ는 대각 원소가 모두 4이고 첫 행의 나머지 원소는 각각 1이다. 하지만 둘째 행 셋째 열과 셋째 행 둘째 열에는 1/4이 생긴다. 인자가 원래의 희소 패턴을 지킨다는 것과 그 곱이 A에 일치한다는 것은 다르다.
구성 실패와 성능을 확인하기
A가 양의 정부호여도 선택한 불완전 분해가 반드시 성공하는 것은 아니다. 중간에 양수가 아닌 피벗을 만나면 구성 방법을 바꾸거나 적절한 보상을 검토해야 한다. 전처리의 품질은 분해 오차 하나만으로 판단하지 않고 반복 횟수, 적용 비용, 실제 잔차를 함께 본다.
관련 문서
촐레스키 분해 / 불완전 LU 분해 / 켤레기울기법 / 양의 정부호 행렬 / 전처리 (수치해석) / 희소행렬 / 대칭행렬