곱의 순서를 구분한다
하삼각행렬 L을 쓰면 A = LLᵀ이고 상삼각행렬 R을 쓰면 A = RᵀR이다. 같은 분해를 표현할 때 R = Lᵀ로 둘 수 있다. 삼각행렬이라는 말만 보고 곱의 순서를 바꾸면 다른 행렬이 나올 수 있다.
두 행 두 열의 계산 예
A의 두 행을 (9,3), (3,5)라고 하자. 하삼각행렬 L의 두 행을 (3,0), (1,2)로 두면 LLᵀ의 성분은 9, 3, 3, 1+4다. 따라서 원래 A가 재현된다. 대각 성분만 제곱근으로 바꾸는 연산이 아니라 비대각 성분도 함께 결정한다.
삼각계를 차례로 푼다
Ax = (12,8)을 풀 때 먼저 Ly = (12,8)을 풀면 y = (4,2)다. 다음으로 Lᵀx = (4,2)를 풀면 두 번째 성분은 1이고 첫 번째 성분도 1이다. 결과 x = (1,1)을 A에 곱하면 (12,8)로 확인할 수 있다.
대각 성분이 양수여도 충분하지 않다
두 행이 (1,2), (2,1)인 대칭행렬은 대각 원소가 모두 양수다. 하지만 벡터 v = (1,-1)에 대해 vᵀAv = -2이므로 양의 정부호가 아니다. 기본 촐레스키 분해를 모든 대칭행렬에 적용할 수는 없다. 입력 조건과 계산 실패 신호, 반올림 오차를 확인한다.