나눗셈 성질의 확장
정수 소수 5가 ab를 나누면 5는 a 또는 b를 나눈다. 소원소는 이를 일반 정역에서 요구한다. 정수환의 소원소에는 양의 소수뿐 아니라 그 음수도 포함된다. −5와 5는 가역원 −1의 배수여서 같은 주아이디얼을 생성한다.
소아이디얼과 연결
p∣ab는 ab∈(p)라는 뜻이다. 마찬가지로 p∣a와 p∣b는 각각 a∈(p), b∈(p)다. 따라서 소원소의 조건은 주아이디얼 (p)의 소아이디얼 조건과 일치한다. p가 비가역원이므로 (p)는 환 전체가 아닌 진아이디얼이다.
기약성은 따라옴
p=ab라면 p가 a 또는 b를 나눈다. p가 a를 나눈다고 하면 a=pc이므로 p=pcb이고 정역의 소거법칙으로 cb=1을 얻는다. 따라서 b가 가역원이다. 어느 쪽이든 분해의 한 인자가 가역원이어서 소원소는 기약원소다.
역이 실패하는 예
ℤ[√−5]에서 2는 기약이지만 소원소가 아니다. 2는 (1+√−5)(1−√−5)=6을 나누지만 두 인자 어느 것도 나누지 않는다. 각 인자의 실수부 1을 2로 나누면 정수 계수가 아니기 때문이다. UFD에서는 이런 차이가 없어 기약원소와 소원소가 일치한다.