예측 수정법

오일러 예측과 기울기 평균

dy/dt = f(t,y)에서 시간 간격 h로 p = y+h f(t,y)를 먼저 계산하자. 이어서 y의 다음 값을 y+h(f(t,y)+f(t+h,p))/2로 수정한다. 구간 끝점 기울기를 실제 다음 값 대신 예측값 p에서 평가하는 구성이다.

예측값과 수정값의 차이

dy/dt = -2y, 초기값 1, h = 0.25라면 첫 기울기는 -2이므로 예측값은 0.5다. 예측 지점에서의 기울기는 -1이다. 두 기울기의 평균 -1.5를 사용하면 수정값은 1-0.375 = 0.625다. 정확한 값 exp(-0.5)는 약 0.60653이다. 이 예에서는 예측만 했을 때보다 오차가 줄었다.

음시적 계산과 같은 결과는 아니다

끝점의 진짜 미지값 q를 넣어 q = 1+0.125(-2-2q)를 풀면 q = 0.6이다. 앞의 단회 수정값 0.625와 다르다. 예측값을 대입해 한 번 수정한 계산을 음시적 사다리꼴 방정식을 정확히 푼 계산이라고 부르면 안 된다.

반복 횟수와 조건을 함께 정한다

수정값을 다시 대입하는 반복 구조도 만들 수 있지만 수렴 여부를 확인해야 한다. 수정 단계를 늘린다고 모든 문제에서 무조건 정확하거나 안정해지지는 않는다. 오차 추정이나 시간 간격 조절도 선택한 알고리즘에 따라 별도로 구성한다.