크기를 재는 함수
δ는 반드시 절댓값이나 곱셈적인 함수일 필요는 없다. 나머지의 값을 나누는 원소보다 작게 만들 수 있으면 된다. 정수환에서는 δ(a)=|a|를 쓸 수 있고, 체 위의 한 변수 다항식환에서는 0 아닌 다항식의 차수를 쓸 수 있다.
반복 나눗셈
정수에서 47=3×13+8, 13=1×8+5, 8=1×5+3, 5=1×3+2, 3=1×2+1, 2=2×1이다. 마지막 0 아닌 나머지 1이 최대공약수다. δ값이 계속 작아지는 음이 아닌 정수이므로 이 과정은 유한 단계에 끝난다.
아이디얼이 하나로 생성됨
0 아닌 아이디얼 I에서 δ값이 가장 작은 0 아닌 b를 고르자. a∈I를 b로 나누면 나머지 r도 I에 속한다. r≠0이면 δ(r)<δ(b)여서 최소성에 모순이다. 따라서 모든 a가 b의 배수이고 I=(b)가 되어 PID임을 알 수 있다.
성질의 방향
유클리드 정역은 모두 PID이며 따라서 UFD다. 그러나 PID라고 해서 반드시 유클리드 함수를 갖는 것은 아니다. 정수에서 익숙한 나눗셈 알고리즘을 모든 정역에 자동으로 적용할 수는 없으며, 먼저 나머지가 줄어드는 함수의 존재를 확인해야 한다.
관련 문서
정역 / 주아이디얼 정역 / 유일 인수분해 정역 / 아이디얼 / 최대공약수 / 유클리드 호제법 / 다항식 / 정수