0을 포함하는 두 관례
자연수를 1, 2, 3 등으로 시작하는 문헌과 0, 1, 2 등으로 시작하는 문헌이 모두 있다. 어느 쪽이든 논의 안에서 같은 약속을 유지하면 된다. 0을 포함하는지 여부가 중요한 명제에서는 이를 직접 적는 편이 명확하다.
컴퓨터 프로그램의 인덱스가 0에서 시작한다고 해서 모든 수학 문헌의 자연수 정의가 자동으로 바뀌는 것은 아니다. 표기 관례와 문제의 조건을 분리해서 읽어야 한다.
닫혀 있는 연산과 그렇지 않은 연산
두 자연수를 더하거나 곱하면 다시 자연수다. 그러나 뺄셈과 나눗셈의 결과가 항상 자연수가 되지는 않는다. 2에서 5를 빼거나 3을 2로 나누는 계산에는 더 넓은 수 체계가 필요하다.
수 체계의 확장은 기존 계산을 없애는 것이 아니라 가능한 연산과 해를 넓히는 과정이다. 정수와 유리수 안에서도 자연수는 그대로 포함된다.
귀납적으로 다루는 구조
수학적 귀납법에서는 시작 경우를 확인하고 어떤 수에서 성립하면 다음 수에서도 성립함을 증명한다. 두 단계를 통해 정해진 범위의 모든 자연수에 관한 결론을 얻는다.
여러 작은 수에서 직접 계산해 맞았다는 사실만으로 귀납 증명이 완성되지는 않는다. 임의의 단계에서 다음 단계로 이어지는 일반적인 논리가 필요하다.
셀 수 있음과 유한함
자연수는 끝없이 이어지지만 항목을 차례로 번호 붙일 수 있다. 이런 의미의 셀 수 있다는 말은 실제로 유한 시간 안에 모두 세어 끝낼 수 있다는 뜻과 다르다.
정수와 유리수도 적절한 방식으로 자연수와 대응시킬 수 있지만 실수 전체는 그렇지 않다. 무한 집합을 비교할 때는 원소의 개수를 세는 일상적인 직관을 확장해야 한다.