경우를 나누어 더하기
A₁,…,Aₙ이 표본공간을 분할하면 B도 B∩A₁,…,B∩Aₙ으로 겹치지 않게 나뉜다. 각 교집합의 확률을 더하고 P(B∩Aᵢ)=P(B|Aᵢ)P(Aᵢ)를 쓰면 공식을 얻는다.
두 상자의 예
첫 상자를 고를 확률이 1/4, 둘째 상자를 고를 확률이 3/4라고 하자. 각 상자에서 빨간 공을 뽑을 조건부 확률이 1/2와 1/3이면 전체에서 빨간 공을 뽑을 확률은 (1/2)(1/4)+(1/3)(3/4)=3/8이다.
단순 평균과의 차이
조건 사건의 확률이 서로 다르면 조건부 확률을 단순 평균하지 않는다. 앞의 예에서는 두 상자를 고를 가능성이 달라 각각 1/4과 3/4의 가중치를 적용했다.
베이즈 정리와 연결
베이즈 정리에서 분모인 관측 사건의 전체 확률을 전확률 정리로 계산할 수 있다. 다만 어떤 분할을 사용했는지와 조건 사건의 확률이 양수인지, 관측 사건의 확률이 0이 아닌지 확인해야 한다.