한 원소를 기준으로 검사
C_G(a)에 속하는지는 기준 원소 a와 교환하는지로 결정한다. a 자체와 항등원은 언제나 들어간다. 한편 항등원의 중심화군은 G 전체다. 항등원이 아닌 원소의 중심화군도 군 전체가 될 수 있으며 이는 그 원소가 중심에 있는 경우다.
부분집합의 중심화군
부분집합 S에 대해서는 S의 모든 원소 s와 교환하는 g들을 모아 C_G(S)라고 쓴다. 따라서 C_G(S)는 s∈S에 대한 C_G(s)들의 교집합이다. 기준 원소 하나와 교환하는 것과 여러 원소 모두와 교환하는 것은 다른 조건이다.
정삼각형의 회전 예
정삼각형의 전체 대칭군에서 120도 회전을 기준으로 삼으면 세 회전은 모두 그것과 교환한다. 반사는 회전 방향을 뒤집으므로 그 회전과 교환하지 않는다. 따라서 이 원소의 중심화군은 세 회전의 부분군이다. 전체 군은 여섯 원소이므로 중심화군이 진부분군인 예다.
중심과 켤레 작용
ga=ag라는 조건은 gag⁻¹=a와 동치다. 따라서 a의 중심화군은 군이 켤레 변환으로 자기 자신에 작용할 때 a의 안정자다. 이 관계를 이용하면 유한군에서 a의 켤레류 크기를 |G|/|C_G(a)|로 계산할 수 있다.