남은 구성이 달라진다
모집단에서 대상을 하나 뽑아 되돌려 놓지 않으면 다음 추출의 분모와 대상 개수가 달라진다. 관심 대상이 나왔는지에 따라 다음 관심 대상의 확률도 바뀐다. 순서 없는 크기 n의 부분집합이 같은 확률로 선택되는 조건에서 초기하분포를 사용한다. 대상의 개별 선택 확률이 다르다면 기본 모형과 구분해야 한다.
조합으로 확률 구하기
전체 10개 중 관심 대상이 4개이고 3개를 뽑아 정확히 2개가 관심 대상일 확률을 생각하자. 관심 대상 4개에서 2개를 고르는 방법은 6개, 나머지 6개에서 1개를 고르는 방법은 6개다. 전체 조합수 C(10,3)=120으로 나누면 확률은 36/120=0.3이다. 일반식은 C(K,k)C(M−K,n−k)/C(M,n)이다.
가능한 개수의 범위
X는 0부터 무조건 n까지 자유롭게 움직이지 않는다. 관심 대상 수 K보다 많이 뽑을 수 없으므로 위쪽 한계는 min(K,n)이다. 관심 대상이 아닌 것이 M−K개뿐이므로 n개를 뽑으려면 적어도 max(0,n−(M−K))개의 관심 대상이 필요하다. M=10,K=4,n=8이면 가능한 X는 2부터 4까지다.
이항분포와 비교
평균은 nK/M이고, M>1에서 분산은 n(K/M)(1−K/M)(M−n)/(M−1)이다. 마지막 비율은 복원 시행과의 차이를 반영한다. 모집단 전체를 뽑으면 X=K로 정해져 분산이 0이다. 추출 비율이 충분히 작으면 이항 모형으로 근사하는 상황도 있지만, 유한 모집단의 크기와 표본 비율을 확인하지 않고 두 분포를 같다고 취급해서는 안 된다.