올바른 괄호열 세기
괄호 n쌍을 사용하되 모든 닫는 괄호가 앞선 여는 괄호와 올바르게 짝지어져야 한다. 두 쌍이면 ()()와 (())의 두 가지가 있으므로 C₂=2다. 여는 괄호와 닫는 괄호의 개수만 같다고 충분한 것은 아니며, 앞에서부터 읽는 도중 닫는 괄호가 더 많아져서는 안 된다.
첫 괄호의 짝으로 분할
첫 여는 괄호와 짝인 닫는 괄호를 정하면 그 안과 뒤에 다시 올바른 괄호열이 놓인다. 안쪽에 i쌍이 있으면 뒤에는 n−1−i쌍이 남는다. 가능한 분할을 모두 더하면 Cₙ=Σ CᵢCₙ₋₁₋ᵢ이며 i는 0부터 n−1까지다. 빈 괄호열을 한 가지로 세는 C₀=1이 이 점화식에 필요하다.
다각형에서 나타나는 수
서로 교차하지 않는 대각선으로 볼록한 (n+2)각형을 삼각형으로 나누는 방법의 수도 Cₙ이다. 사각형은 두 대각선 중 하나를 선택하므로 C₂=2이고 오각형은 C₃=5다. 특정 꼭짓점의 이름을 바꾸어 같은 것으로 볼지에 따라 다른 문제가 될 수 있으므로 꼭짓점이 정해진 다각형을 기준으로 센다.
계산할 때의 조건
일반항의 나눗셈은 정수 결과를 만들지만 중간의 이항계수는 매우 커질 수 있다. 나머지만 계산할 때도 n+1로 보통의 정수 나눗셈을 해서는 원하는 결과가 나오지 않을 수 있다. 모듈러 역원을 사용하는 방법은 역원이 존재하는 조건을 확인해야 하며, 점화식으로 계산하는 방법도 있다.