벡터들을 보관하는 것 이상의 의미
부분공간은 나열된 벡터들만을 뜻하지 않는다. 그 벡터들에 임의의 계수를 곱해 더한 모든 벡터가 포함된다. 다음 곱을 추가하면 공간은 그대로이거나 더 커지며, 벡터를 하나 추가할 때마다 반드시 차원이 늘어나는 것은 아니다.
두 방향이 생기는 예제
A를 대각 원소가 2와 5인 행렬, v를 (1,1)로 두자. Av는 (2,5)이며 v와 나란하지 않다. 따라서 K(2)는 이차원 공간 전체다. 임의의 (a,b)를 αv+βAv로 쓰려면 β=(b-a)/3, α=(5a-2b)/3으로 두면 된다.
시작 벡터가 제한하는 경우
같은 행렬에서도 v=(1,0)이면 Av=(2,0), A²v=(4,0)이다. 곱셈을 더 해도 둘째 좌표 방향은 생기지 않는다. 행렬에 고유값 5가 존재하더라도 이 시작 벡터로 만든 공간에는 그 방향이 들어오지 않는다.
작은 고유값 문제로 압축하기
공간의 직교정규 기저를 열로 모은 Q에 대해 QᵀAQ를 계산하면 작은 행렬을 얻는다. 원래 행렬을 곱한 결과를 선택한 공간으로 정사영한 표현이다. 이 작은 행렬의 고유값을 구했다고 원래 문제의 정확한 고유값을 모두 얻은 것은 아니다. 근사 고유벡터의 잔차도 확인해야 한다.