파레토 분포

하한과 거듭제곱 꼬리

x≥x_m에서 밀도는 αx_m^α/x^(α+1)이고 생존함수는 (x_m/x)^α다. x_m보다 작은 값의 확률은 0이다. 하한은 단순한 평균 위치가 아니라 가능한 값의 시작점을 정한다. 형상 α가 커지면 같은 하한에서 큰 값을 넘을 확률이 더 빠르게 감소한다. 다른 파레토 유형이나 이동을 더한 모형과는 정의를 맞춰 비교해야 한다.

배수로 비교하는 예

x_m=2, α=3이면 4를 넘을 확률은 (2/4)³=1/8이고 8을 넘을 확률은 (2/8)³=1/64다. 기준을 두 배로 올리면 꼬리 확률이 1/8배가 된다. 이미 4를 넘었다는 조건에서 8도 넘을 확률은 (1/64)/(1/8)=1/8이다. 전체 확률 1/64와 조건부 확률 1/8은 서로 다른 질문에 대한 답이다.

평균이 항상 있는 것은 아니다

양의 r차 모멘트를 밀도로 적분하면 상수에 x^(r−α−1)을 곱한 적분이 나타난다. 무한대에서 이 적분이 수렴하려면 α>r이어야 한다. 따라서 기본형에서 평균이 유한하려면 α>1, 분산이 유한하려면 α>2가 필요하다. 유한한 표본의 평균을 계산할 수 있다는 사실과 이론적 모집단 평균의 존재는 구분해야 한다.

법칙과 모형의 구분

일부 관측에서 소수의 항목에 큰 값이 집중된다고 해서 정확히 특정 비율의 파레토 법칙을 만족하는 것은 아니다. 이 분포족 자체도 모든 형상에서 같은 집중 비율을 주지 않는다. 꼬리 구간을 어디서 시작했는지와 관측 상한의 영향을 확인해야 한다. 로그 축의 그래프가 직선처럼 보인다는 점 하나만으로 파레토 분포를 확정하기는 어렵다.