두 방향을 증명하기
어떤 실수 x가 x²=0을 만족할 필요충분조건은 x=0이다. x=0이면 제곱이 0이고, x²=0이면 x도 0이다. 어느 방향도 빠뜨리지 않아야 동치가 확인된다.
한 방향의 반례
4의 배수이면 짝수라는 명제는 참이지만 그 역은 6이라는 반례 때문에 거짓이다. 따라서 두 조건은 필요충분관계가 아니다. 한 방향만 참인 함의와 양방향 동치를 구별한다.
해를 구하는 과정
방정식을 변형하며 동치인 식만 사용하면 해가 보존된다. 그러나 양변을 제곱하는 등의 조작은 한 방향만 보장할 수 있다. 예를 들어 x=1에서 x²=1을 얻지만 그 역은 x=−1 때문에 성립하지 않는다.
기준 범위를 명시하기
같은 식도 변수의 범위를 제한하면 동치 여부가 달라질 수 있다. x≥0이라는 조건 아래에서는 x²=1과 x=1이 동치다. 조건을 생략하고 더 넓은 범위로 결론을 확대하지 않는다.