수식이 없어도 함수가 된다
도서관의 각 도서 등록번호에 그 번호가 붙은 책 한 권을 대응시키는 관계를 생각할 수 있다. 등록번호마다 책이 하나로 정해진다면 이 관계는 함수로 볼 수 있다. 입력과 출력은 반드시 숫자일 필요가 없다.
반면 책 제목에 그 제목을 가진 모든 책을 각각 대응시키면 한 제목에 여러 권이 연결될 수 있다. 이를 함수로 다루려면 출력 하나를 책들의 집합으로 정하는 등 대응의 대상을 분명하게 바꾸어야 한다.
정의역과 공역이 중요한 이유
같은 식이라도 입력 범위를 무엇으로 정하느냐에 따라 서로 다른 함수가 된다. f(x) = x²에서 입력을 모든 실수로 정하는 경우와 0 이상인 실수로만 정하는 경우는 정의역이 다르다.
공역은 출력이 들어가도록 정해 둔 집합이고, 치역은 실제로 나오는 값들이다. 실수를 입력받아 제곱하는 함수를 실수로 가는 함수로 정의하면 치역은 공역의 일부인 0 이상의 실수가 된다.
합성과 역함수
한 함수의 출력을 다른 함수의 입력으로 넣는 것을 합성이라고 한다. 예를 들어 거리를 넣으면 소요 시간을 주는 함수와 시간을 넣으면 비용을 주는 함수를 이어 거리에서 비용을 계산할 수 있다. 두 함수 사이의 입력 범위가 맞아야 한다.
함수를 거꾸로 대응시켜도 입력마다 출력 하나가 정해지려면 원래 대응이 적절한 조건을 만족해야 한다. 모든 함수가 주어진 정의역과 공역에서 역함수를 갖는 것은 아니다.
그래프와 변화
수치 함수는 입력과 출력의 쌍을 좌표로 나타낼 수 있다. 그래프의 기울기와 넓이를 다루는 미적분학은 함수의 변화와 누적을 분석한다. 다만 표나 대응 규칙으로 정의한 모든 함수가 하나의 간단한 공식으로 표현되는 것은 아니다.