함수값이 항등원인 원소
핵은 출력값 전체를 모은 상과 다르다. 출발 군 G 안에서 특정한 출력 e_H로 가는 원소들을 모은다. 곱셈군에서는 항등원이 1일 수 있고 덧셈군에서는 0일 수 있으므로 핵을 무조건 함수값이 숫자 0인 집합이라고 정의해서는 안 된다.
나머지 사상의 예
정수 n을 4로 나눈 나머지의 동치류로 보내는 덧셈군 준동형을 생각하자. 출력의 항등원은 0의 동치류다. 따라서 핵은 4의 배수 전체인 4Z다. 1과 5가 같은 출력으로 가는 것은 두 수의 차이 4가 핵에 들어가는 것과 연결된다.
정규부분군이 되는 이유
핵의 원소는 곱과 역원을 취해도 항등원으로 보내지므로 부분군을 이룬다. 또한 gng⁻¹을 준동형으로 보내면 f(g)e_Hf(g)⁻¹=e_H이므로 켤레 변환에도 핵이 유지된다. 따라서 핵은 단순한 부분집합이 아니라 정규부분군이다.
단사성과 공역의 구분
핵이 항등원 하나뿐일 때 그리고 그때에만 군 준동형은 단사다. 예를 들어 정수에서 f(n)=2n의 핵은 {0}이므로 단사지만 공역을 정수 전체로 두면 홀수에 도달하지 못한다. 따라서 핵이 자명하다는 조건만으로 전사나 동형까지 결론 내릴 수는 없다.