지수 함수의 역관계
행렬 지수는 L의 거듭제곱들을 이용하는 급수로 정의할 수 있다. 행렬 로그는 이 지수 관계를 되돌리는 문제다. 대각 원소가 e와 e²인 대각 행렬에는 대각 원소가 1과 2인 로그를 선택할 수 있다. 대각 밖의 0에 따로 로그를 취한 결과가 아니다. 일반적인 행렬 곱에서는 순서가 중요하므로 실수 로그의 계산 규칙을 조건 없이 그대로 적용해서는 안 된다.
유한 급수로 확인하는 예제
N의 두 행이 (0,2),(0,0)이면 N²=0이다. 따라서 exp(N)=I+N이고 그 두 행은 (1,2),(0,1)이다. 이 행렬 A에 대해 N은 하나의 행렬 로그다. 로그 행렬의 대각 원소는 0이고 비대각 원소는 2라는 점에서 A의 원소 각각에 로그를 취하는 것과 다름을 직접 볼 수 있다.
존재와 여러 해
행렬 지수 exp(L)는 exp(-L)를 역행렬로 가지므로 특이 행렬은 유한한 행렬 로그를 가질 수 없다. 로그가 존재하더라도 하나뿐이라는 보장은 없다. 복소수 행렬에서는 0 행렬과 2πiI 모두 지수화하면 I가 된다. 같은 결과를 만드는 여러 로그가 있으므로 특정 계산법의 반환값을 모든 가능한 로그와 동일시하지 않는다.
분기와 수치 검증
실수 입력에 대해 복소수 로그를 다루는 경우가 있으며 원하는 로그의 종류와 정의역을 확인해야 한다. 계산한 L을 다시 지수화해 A와 비교하는 것은 기본 검산 방법이다. 하지만 재구성 오차가 작다는 사실만으로 선택한 가지가 의도한 의미와 맞거나 계산이 안정적이라고 보장되지는 않는다. 모형에서 행렬 로그를 사용할 때는 가지의 선택과 입력 변화에 대한 민감도를 함께 검토한다.