정수의 계산을 넓히기
정수에서는 더하기와 곱하기가 모두 가능하고 그 결과도 정수에 남는다. 덧셈에는 0과 음수가 있고 곱셈에는 결합법칙과 덧셈에 대한 분배법칙이 성립한다. 환은 이런 연산 구조를 다른 대상에도 적용해 연구하는 틀이다.
나눗셈은 모두 가능하지 않다
환에서는 모든 0이 아닌 원소가 곱셈 역원을 가질 필요가 없다. 정수 2의 역수인 1/2은 정수에 속하지 않는다. 따라서 정수는 환이지만 모든 0이 아닌 수로 나눌 수 있는 체는 아니다.
곱셈의 순서
정수의 곱셈은 교환 가능하지만 행렬의 곱셈은 일반적으로 그렇지 않다. 같은 크기의 정사각행렬은 덧셈과 곱셈으로 환의 예를 이룬다. 곱셈이 교환 가능한 환은 가환환이라고 부른다.
정의의 관례
곱셈 항등원을 환의 정의에 포함하는 관례가 널리 쓰이며, 이를 별도 조건으로 다루는 문헌도 있다. 어떤 문헌의 정리나 예를 읽을 때는 채택한 정의를 확인해야 한다. 같은 연산 기호를 사용하더라도 대상과 필요한 성질은 명확히 구분한다.