첫 항이 달라지는 제타 급수
a=1이면 1+1/2ˢ+1/3ˢ+⋯이고 a=2이면 1/2ˢ+1/3ˢ+1/4ˢ+⋯다. 따라서 수렴하는 영역에서 ζ(s,2)=ζ(s)−1이다. 합의 인덱스가 0부터 시작하기 때문에 첫 항은 a⁻s다. 모수 a를 지수 s와 바꾸거나 첫 항을 (1+a)⁻s로 적으면 다른 급수가 된다.
시작점을 옮기는 점화식
첫 항을 떼면 ζ(s,a)=a⁻s+ζ(s,a+1)이다. 같은 계산을 두 번 하면 ζ(s,a)−ζ(s,a+2)=a⁻s+(a+1)⁻s다. 예를 들어 s=2,a=2이면 ζ(2,2)−ζ(2,4)=1/4+1/9=13/36이다. 두 무한합의 차이가 유한한 항의 합으로 정리되므로 수치 결과를 점검하는 관계식으로 사용할 수 있다.
반정수 시작점의 예
a=1/2이면 각 항은 (n+1/2)⁻s=2ˢ(2n+1)⁻s다. 홀수 자연수의 항만 모은 합은 (1−2⁻s)ζ(s)이므로 ζ(s,1/2)=(2ˢ−1)ζ(s)다. s=2에서는 리만 제타 값의 세 배가 된다. 시작점을 절반으로 바꿨다고 결과도 단순히 두 배가 되는 것은 아니다. 모든 분모와 지수가 함께 변한다는 점을 확인해야 한다.
수렴 영역과 모수 조건
양의 실수 a와 실수 s>1에서는 모든 항이 양수이고 급수가 수렴한다. s에 대한 해석적 연속에서는 s=1에 단순극이 있다. 이 확장과 원래 급수의 보통 수렴을 구별한다. a=0이나 음의 정수에서는 분모가 0인 항이 생길 수 있으므로 기본 급수를 적용하지 않는다. 복소수나 그 밖의 a를 다룰 때는 거듭제곱의 가지와 함수 정의역을 추가로 확인한다.