ESPRIT

한 칸 이동의 의미

한 성분을 xⱼ=c zʲ로 나타내면 xⱼ₊₁=z xⱼ다. 여러 성분이 섞인 경우 관측 전체에 같은 스칼라를 곱하는 관계는 없지만 성분들이 만드는 부분공간 안에서는 각 z에 대응하는 이동 관계를 구성할 수 있다. 감쇠 없는 주파수 성분은 단위원 위의 복소수 z로 표현된다.

위상에서 주파수 읽기

z=exp(i2πf)라는 부호 규약을 사용하자. z=i라면 정규화 주파수 f=1/4이고, c=2일 때 처음 네 표본은 2,2i,−2,−2i다. 한 칸 이동할 때마다 i가 곱해진다. 반대 부호의 복소 지수 정의를 쓰면 주파수의 부호 해석도 바뀌므로 구현의 정의를 확인해야 한다.

부분공간으로 옮긴 계산

표본으로 만든 한켈 행렬이나 배열 관측에서 신호 부분공간을 추정한 뒤 서로 한 칸 이동한 두 부분을 비교한다. 최소제곱 등의 방식으로 이동 연산자를 추정하고 그 고유값을 계산한다. 단순한 인접 표본의 비율은 여러 성분이 섞였거나 표본이 0에 가까울 때 이 계산을 대신하지 못한다.

MUSIC과 안정성 비교

MUSIC은 후보 파형을 잡음 부분공간과 비교하는 방식이 대표적이고 ESPRIT는 이동 연산자의 고유값을 활용한다. 어느 쪽이든 신호 모형과 성분 수의 추정이 중요하다. 한 스냅숏의 구조적 배열로도 정식화할 수 있지만 가까운 주파수와 잡음은 부분공간 분리를 어렵게 만든다. 고유값을 얻었다는 사실만으로 정확 복원을 보장하지 않는다.