실수 행렬의 축소형
행 수 m이 열 수 n 이상인 실수 행렬 A를 생각하자. 축소 QR 분해에서 Q는 m행 n열이며 열들이 정규직교하고, R은 n행 n열인 상삼각행렬이다. Q가 직사각행렬일 수 있으므로 언제나 정사각 직교행렬이라고 부르는 것은 정확하지 않다.
전체형과의 차이
전체 QR 분해에서는 Q를 m행 m열인 직교행렬로 만들고 R을 m행 n열로 둔다. m이 n보다 크면 R의 아래쪽에 0인 행들이 생긴다. 축소형과 전체형은 Q와 R의 크기가 다르므로 공식을 적용할 때 어떤 형태를 쓰는지 확인해야 한다.
그람-슈미트 과정과 연결
A의 열들이 선형 독립일 때 그람-슈미트 과정으로 정규직교 열들을 구해 Q를 만들 수 있다. 원래 열들을 이 방향들의 선형 결합으로 나타낸 계수들이 R에 들어간다. 앞의 방향부터 순서대로 구성하는 과정 때문에 R에는 위쪽 삼각 구조가 나타난다.
최소제곱 계산
실수 행렬 A가 열 전계수를 갖고 축소 분해 A = QR을 썼다면 최소제곱 해는 Rx = Qᵀb라는 삼각 연립방정식으로 구할 수 있다. 열들이 선형 독립이라는 조건이 R의 가역성을 보장한다. 복소수 행렬에서는 정규직교 조건과 계산식에 전치 대신 켤레전치를 사용한다.