표본을 z의 거듭제곱과 결합한다
양방향 Z 변환은 각 정수 시점 n에 대해 x[n]z⁻ⁿ을 모두 합하는 정의다. n이 0 이상인 항만 더하는 단방향 정의도 있다. 음의 시점에 값이 있는 수열을 다룰 때 두 정의를 구분해야 한다.
유한 수열의 예
시점 0, 1, 2의 값이 각각 3, -2, 5이고 나머지가 0이라면 X(z)는 3 - 2z⁻¹ + 5z⁻²다. z = 2에서 값은 3 - 1 + 1.25 = 3.25다. 한 z에서의 값 하나가 원 수열의 모든 표본을 직접 나열하는 것은 아니다.
한 표본의 지연
앞의 수열을 한 표본 뒤로 옮기면 0, 3, -2, 5가 된다. 변환식은 3z⁻¹ - 2z⁻² + 5z⁻³로, 원 식에 z⁻¹을 곱한 형태다. 필터의 블록도에서 z⁻¹을 한 표본 지연으로 쓰는 이유를 이 예로 볼 수 있다.
무한 합의 수렴
n이 0 이상일 때 x[n] = 0.5ⁿ인 수열은 등비급수로 합하면 1 / (1 - 0.5z⁻¹)이 된다. 이 전개가 수렴하는 조건은 |z| > 0.5다. 수렴 영역을 생략한 대수식만으로 모든 시간 방향의 수열을 같게 취급하지 않는다.
관련 문서
쌍선형 변환 / 임펄스 불변법 / 최소 위상 필터 / IIR 필터 / FIR 필터 / 임펄스 응답 / 이산 푸리에 변환