모형과 대칭
진공에서 반지름 a의 얇은 고리에 선전하밀도 λ가 균일하게 분포한다고 하자. 중심에서 수직축을 따라 x만큼 떨어진 관측점은 고리 위 모든 전하 요소로부터 같은 거리 r=√(a²+x²)에 있다.
고리의 마주 보는 전하 요소가 만드는 전기장을 합하면 고리 평면에 평행한 성분은 상쇄된다. 축 방향 성분은 같은 방향이므로 합산된다.
축 방향 성분
전하 요소 dq가 만드는 전기장의 크기는 dE=dq/(4πε₀r²)다. 기울어진 전하-관측점 연결선과 축 방향 사이의 각을 α로 정의하면 cosα=x/r이므로 축 방향 성분은 dEₓ=x dq/(4πε₀r³)이다.
고리 전체에서 x와 r은 같으므로 적분하면 Eₓ=Qx/(4πε₀r³)다. 총전하 Q=2πaλ를 대입하면 Eₓ=aλx/[2ε₀(a²+x²)³ᐟ²]가 된다.
특징
중심에서는 대칭에 의해 전기장이 0이다. 양전하 고리의 축 위에서는 전기장이 중심에서 멀어지는 방향이며, 음전하에서는 반대 방향이다. 고리 크기보다 충분히 멀리 떨어진 곳에서는 총전하 Q를 가진 점전하의 전기장에 가까워진다.