거짓인 두 명제를 해석하는 순서
“어떤 실수 x에서 p가 성립한다”가 거짓이면 모든 실수 x에서 p가 거짓이다. 또 “A는 B이기 위한 충분조건이다”는 A ⇒ B를 뜻한다. 이 함의가 거짓이면 A가 참인데 B는 거짓인 x가 적어도 하나 있다.
첫 번째 명제에서 얻은 조건을 두 번째 명제에 반영해야 한다. 두 명제를 서로 무관하게 계산하면 반례의 범위를 놓칠 수 있다.
예제의 조건
실수 x에 대하여 p: ax² + 2x - 4 ≥ 0, q: x² + 2bx + 25 > 0이라 하자. 정수 a와 자연수 b에 대해 “어떤 실수 x에 대하여 p이다”와 “¬p는 q이기 위한 충분조건이다”가 모두 거짓일 때, 가능한 a의 최댓값 M과 b의 최솟값 m을 구한다.
첫 번째 거짓에서 a 구하기
p를 만족하는 x가 없으므로 ax² + 2x - 4 < 0이 모든 실수에서 성립해야 한다. a = 0이면 2x - 4가 양수가 되는 x가 있고, a > 0이면 x의 절댓값이 커질 때 이차식이 양수가 되므로 제외한다.
a < 0에서 ax² + 2x - 4 = a(x + 1/a)² - 4 - 1/a이다. 최댓값 -4 - 1/a가 0보다 작아야 하므로 a < -1/4이다. a가 정수이므로 가능한 최댓값은 M = -1이다. 판별식 D = 4 + 16a < 0을 써도 같은 결과다.
두 번째 거짓에서 b 구하기
첫 조건 때문에 ¬p는 모든 실수 x에서 참이다. 따라서 ¬p ⇒ q가 거짓이 되려면 q가 거짓인 x가 하나라도 있으면 된다. 이는 x² + 2bx + 25 ≤ 0인 실수가 존재한다는 뜻이다.
x² + 2bx + 25 = (x + b)² + 25 - b²이므로 최솟값 25 - b² ≤ 0이어야 한다. 따라서 b² ≥ 25이고, b가 자연수이므로 m = 5이다. 결론은 M + m = 4다.
경계값 검산
a = -1이면 -x² + 2x - 4 = -(x - 1)² - 3이므로 p는 항상 거짓이다. b = 5, x = -5에서 q의 좌변은 0이 되어 q는 거짓이다. 이 x에서 ¬p는 참이고 q는 거짓이므로 두 번째 명제도 거짓임을 확인할 수 있다. q는 엄격한 부등식 > 0이므로 좌변이 0인 경우도 거짓에 포함된다.