프로베니우스 방법은 정칙 특이점 부근에서 선형 상미분방정식의 해를 급수로 구성하는 해법이다. 보통의 멱급수에 x의 거듭제곱 인자를 곱해, 정수가 아닌 지수를 갖는 해도 다룬다.
정칙 특이점과 급수형 해
x = 0 부근의 방정식 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0에서 xp(x)와 x²q(x)가 0에서 해석적이면 0은 정칙 특이점의 조건을 만족한다. 양의 x에서 y = xʳ Σaₙxⁿ 형태의 해를 가정하고 방정식에 대입한다. a₀ ≠ 0인 선도항의 조건에서 지표방정식을 얻고, 나머지 항의 계수를 비교해 점화식을 구성한다.
지표근과 독립해
지표방정식의 두 실근 차이가 정수가 아니면 각 근에 대응하는 독립적인 프로베니우스형 해를 얻는다. 중근이나 정수 차이의 경우에는 두 번째 독립해를 구할 때 로그항이 필요할 수 있다. 같은 해의 선도계수만 바꾸어 얻은 상수배는 새로운 독립해가 아니다.
계수와 일반해의 상수
급수의 a₀는 한 해를 구성하는 계수다. 두 해를 각각 구성할 때 사용하는 선도계수는 별도로 선택할 수 있다. 흔히 각각의 선도계수를 1로 정해 기준해 u₁, u₂를 만든 뒤, 일반해를 y = A u₁ + B u₂로 쓴다.
여기서 A와 B는 독립적인 임의상수다. 점화식 안의 a₁ 등 급수 계수와 일반해의 상수는 역할이 다르다. 임의상수의 이름을 바꾸더라도 독립적으로 선택할 수 있는 자유도는 보존되어야 한다.
참고 자료
Jiří Lebl, Notes on Diffy Qs: Singular points and the method of Frobenius