도형의 설정
직사각형 ABCD의 꼭짓점을 둘레 순서로 정하고 대각선 BD를 접는 선으로 삼는다. C가 접혀 이동한 점을 C′라 하며, 선분 BC′가 AD와 만나는 점을 E로 둔다. E에서 BD에 내린 수선의 발을 F라 한다. 여기서는 E가 AD 위에 있고 F가 BD 위에 있는 배치를 다룬다.
접힌 각과 평행선의 각
B와 D는 접는 선 위에 있어 움직이지 않는다. BC가 BC′로 접히므로 ∠EBD = ∠DBC이다. AD와 BC는 평행하고 E가 AD 위에 있으므로 ∠BDE = ∠DBC이다. 따라서 ∠EBD = ∠BDE가 되어 삼각형 BED는 BE = DE인 이등변삼각형이다.
수선이 밑변을 이등분하는 이유
삼각형 BEF와 DEF는 직각삼각형이다. 빗변 BE와 DE가 같고 EF를 공유하므로 합동이다. 따라서 BF = FD이며, BF는 대각선 BD의 절반이다. 수선이 언제나 밑변을 이등분하는 것은 아니고, 이등변삼각형이라는 조건이 필요하다.
직각삼각형의 닮음
삼각형 BFE의 F각과 삼각형 DAB의 A각은 직각이다. 또한 ∠EBF = ∠ADB이므로 두 삼각형은 AA 조건으로 닮는다. 대응점은 B↔D, F↔A, E↔B이다. 따라서 BF:DA = EF:AB = BE:DB가 성립한다. 그림의 크기나 방향보다 같은 각의 맞은편 변을 확인하는 것이 중요하다.
길이와 넓이의 계산 예시
AB = 6cm, BC = AD = 8cm, BD = 10cm라면 BF = 5cm이다. 닮음비 BF:DA = 5:8을 이용하면 EF = 6 × 5/8 = 15/4cm이다. 따라서 삼각형 BFE의 넓이는 5 × (15/4) ÷ 2 = 75/8cm²이다.
다른 길이로 확인하기
같은 닮음비에서 BE = 10 × 5/8 = 25/4cm이다. 이등변삼각형이므로 DE도 25/4cm이고 AE = 8 − 25/4 = 7/4cm이다. 직각삼각형 ABE에서 (7/4)² + 6² = (25/4)²이 성립하므로 계산을 교차 확인할 수 있다.