가우스 체비쇼프 구적법

가중 적분과 절점

제1종 공식은 ∫_{−1}¹ f(x)/√(1−x²)dx를 (π/n)Σ_{i=1}^n f(x_i)로 근사한다. n개 절점은 등간격 x가 아니라 코사인으로 정해지며 구간 끝에 더 가깝게 모인다. 절점은 제1종 체비쇼프 다항식 T_n의 근이다. 가중치가 없는 보통 적분을 같은 식에 바로 대입하는 것은 다른 계산이다.

삼각함수로 보는 가중치

x=cos θ로 치환하면 dx=−sin θ dθ이고 0≤θ≤π에서 √(1−x²)=sin θ다. 따라서 가중 적분은 ∫₀^π f(cos θ)dθ가 된다. 원래 구간 끝의 가중치 특이성이 이 변수 변환에서 상쇄된다. 절점 각도 (2i−1)π/(2n)는 이 θ 구간의 등간격 중점들이다. x축에서의 점 배치와 각도 축에서의 점 배치를 구분한다.

두 점으로 확인하는 정확도

n=2이면 절점은 ±1/√2이고 가중치는 각각 π/2다. f(x)=1에서는 π를 얻고 f(x)=x²에서는 π/2를 얻는다. 둘 다 실제 가중 적분값과 같다. 일반적으로 n개 점의 공식은 2n−1차 이하 다항식 f에 정확하다. f가 4차인 x⁴일 때 두 점 결과는 π/4지만 실제 가중 적분은 3π/8이므로 차수 조건 밖에서는 오차가 생긴다.

같은 이름의 다른 형식

제2종 체비쇼프 구적은 √(1−x²)라는 다른 가중치와 연결된다. 제1종의 절점과 가중치를 제2종 적분에 그대로 쓰지 않는다. 정확도 차수는 가중치 밖의 함수에 대한 조건이다. 다항식이 아닌 함수를 다룰 때는 점 개수를 늘린 결과와 함수의 매끄러움을 검토하며, 끝점 가중치가 적분 가능하다는 사실만으로 어떤 추가 특이성도 허용된다고 보지는 않는다.