가우스 야코비 구적법

양 끝의 가중치 정하기

대상은 ∫_{−1}¹(1−x)^α(1+x)^β f(x)dx다. α는 x=1 쪽,β는 x=−1 쪽 가중치를 조절한다. 두 모수가 −1보다 커야 가중치 자체가 각 끝에서 적분 가능하다. n개의 평가점은 야코비 다항식 P_n^(α,β)의 근이며, 그 가중합은 2n−1차 이하 다항식 f를 정확하게 적분한다.

익숙한 공식으로 돌아오기

α=β=0이면 가중치가 1이 되어 가우스 르장드르 구적법이다. α=β=−1/2이면 가중치가 1/√(1−x²)가 되어 제1종 가우스 체비쇼프 형식과 연결된다. α=β=1/2에서는 √(1−x²) 가중치를 얻는다. 모수가 같을 때의 대칭성을 α와 β가 다른 경우에도 그대로 가정하지 않는다.

한 점 공식의 비대칭 예

α=1,β=0이면 가중치는 1−x다. 전체 가중치 적분은 2이고, x를 곱한 적분은 −2/3이다. 따라서 상수와 1차 함수를 정확히 적분하는 한 점 공식은 절점 −1/3,가중치 2다. f(x)=x에서 2×(−1/3)=−2/3을 얻는다. 가운데 점 0을 썼다면 0이 되어 비대칭 가중치를 반영하지 못한다.

베타 함수와 정규화

t=(x+1)/2로 치환하면 가중치의 전체 적분은 2^(α+β+1)B(β+1,α+1)이다. 이를 나누어 확률밀도로 정규화하면 t는 베타분포의 모양과 연결된다. 구적 가중치의 합이 언제나 1인 것은 아니며, 원래 가중 적분인지 정규화한 기댓값인지에 따라 바깥 계수를 맞춰야 한다. 추가적인 함수 f의 특이성이나 수치 오차는 별도로 검토한다.