원소를 지우는 것이 아닌 몫
가환화에서는 원래 군에서 비가환인 원소들을 골라 삭제하지 않는다. 교환자 부분군의 같은 잉여류에 속하는 원소들을 하나로 취급한다. 그 결과 서로 달랐던 원소가 같은 잉여류로 가거나 항등원 잉여류에 들어갈 수 있다.
가환군으로 보내는 공통 경로
f:G→A가 가환군 A로 가는 준동형이면 f(aba⁻¹b⁻¹)=e다. 따라서 f는 [G,G] 전체를 항등원으로 보내고, 같은 잉여류의 원소에는 같은 값을 준다. 이 때문에 f는 G→G/[G,G] 다음에 몫군에서 A로 가는 유일한 준동형을 적용하는 것으로 표현된다.
S₃의 가환화
S₃의 교환자 부분군은 A₃이므로 가환화 S₃/A₃에는 두 원소가 있다. 짝순열과 홀순열이 각각 한 잉여류로 묶이며 그 곱은 부호의 곱과 대응한다. 원래 S₃에 원소가 여섯 개 있다는 사실과 가환화의 크기는 구별해야 한다.
이미 가환인 경우
G가 가환군이면 [G,G]={e}여서 가환화는 G와 자연스럽게 동형이다. 반대로 [G,G]=G인 완전군의 가환화는 자명한 군이다. 따라서 가환화만 같다고 원래 군들까지 동형이라는 결론은 나오지 않는다.
관련 문서
교환자 부분군 / 교환자 (군론) / 몫군 / 잉여류 / 군 준동형 / 가환군 / 대칭군 / 교대군 / 완전군