교환자들로 생성되는 군
완전군의 모든 원소는 교환자들과 그 역원들의 유한한 곱으로 나타낼 수 있다. 모든 원소가 교환자 하나여야 한다는 조건은 아니다. 정의는 교환자들이 생성하는 부분군이 어디까지 커지는지를 말한다.
단순군과의 연결
비가환군의 교환자 부분군은 자명하지 않은 정규부분군이다. 따라서 비가환 단순군에서는 그 부분군이 전체 군이어야 하므로 완전군이 된다. 이 논증에서 비가환이라는 가정은 필요하다. 소수 위수의 순환군은 단순군이지만 완전군이 아니다.
역방향이 성립하지 않는 예
A₅는 비가환 단순군이므로 완전군이다. A₅×A₅도 각 좌표에서 교환자를 계산하면 완전군이지만 A₅×{e}라는 비자명한 진정규부분군이 있다. 따라서 완전군이 단순군이라는 역방향 명제는 성립하지 않는다.
가환군인 완전군
가환군의 교환자 부분군은 {e}다. 따라서 가환성과 완전성을 동시에 만족하는 군은 자명한 군뿐이다. 자명하지 않은 완전군에서 가환군으로 가는 준동형도 상이 자명해진다. 이는 모든 교환자가 가환군에서 항등원으로 가기 때문이다.